Kuasai Konsep Bentuk Akar, Pembagian, & Merasionalkannya
Pahami hubungan bentuk akar dengan pangkat pecahan $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, teknik ekstraksi kuadrat sempurna $\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}$, pembagian akar $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, serta cara merasionalkan penyebut pecahan irasional.
Laboratorium Visual Ekstraksi Kuadrat Sempurna
Ubah bilangan di dalam akar untuk melihat pemisahan faktor kuadrat sempurna yang dapat keluar dari tanda akar.
Eksplorasi Bilangan di Dalam Akar Interaktif
Makna Pemisahan Faktor Kuadrat
Definisi, Sifat Operasi, Pembagian, & Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya irasional (seperti $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$). Operasi pembagian dapat disatukan di bawah tanda akar yang sama.
Penyederhanaan Akar
Faktor KuadratCari faktor kuadrat terbesar ($4, 9, 16, 25, 36, \dots$) yang habis membagi bilangan di bawah tanda akar, lalu tarik keluar dari tanda akar.
Jumlah & Selisih
Hanya Akar SejenisHanya akar dengan radikan yang sama persis ($\sqrt{c}$) yang koefisiennya dapat dijumlahkan atau dikurangkan secara langsung.
Perkalian & Pembagian
Sifat Satuan AkarBisa dioperasikan meski tidak sejenis. Pembagian dua bentuk akar dapat disatukan di dalam satu tanda akar tunggal:
Merasionalkan
Akar SekawanJika penyebut berbentuk akar irasional dan tidak habis dibagi, kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawannya.
Kalkulator Bentuk Akar & Merasionalkan
Pilih metode perhitungan, masukkan nilai radikan atau pecahan, lalu amati penjabaran langkah bersusun.
Input Bilangan yang Akan Disederhanakan
Pembahasan Lengkap: Bentuk Akar & Operasi Aljabar
Mencakup penyederhanaan, penjumlahan/pengurangan sejenis, pembagian akar, merasionalkan penyebut, dan Pythagoras.
Sederhanakan bentuk akar dari $\sqrt{72}$!
1. Tentukan faktor kuadrat terbesar dari $72$: $72 = 36 \times 2$.
2. Gunakan sifat perkalian bentuk akar $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = \mathbf{6\sqrt{2}}$$
Tentukan hasil dari operasi aljabar berikut: $5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$!
1. Karena seluruh suku memiliki bentuk akar yang sejenis ($\sqrt{3}$), operasikan koefisiennya langsung:
$$(5 + 4 - 2)\sqrt{3}$$ 2. Hitung hasil penjumlahan dan pengurangan:
$$= \mathbf{7\sqrt{3}}$$
Tentukan hasil dari: $\sqrt{75} + \sqrt{12} - \sqrt{27}$!
1. Sederhanakan masing-masing bentuk akar terlebih dahulu:
$$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$$ $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$$ $$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$$ 2. Gabungkan suku-suku yang kini sudah sejenis:
$$5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (5 + 2 - 3)\sqrt{3} = \mathbf{4\sqrt{3}}$$
Hitunglah hasil pembagian bentuk akar berikut: $\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{6}}$ dan $\frac{8\sqrt{45}}{2\sqrt{5}}$!
1. Untuk $\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{6}}$, gunakan sifat $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$$\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{96}{6}} = \sqrt{16} = \mathbf{4}$$ 2. Untuk $\frac{8\sqrt{45}}{2\sqrt{5}}$, bagi koefisien luar dan satukan bagian akar:
$$\frac{8\sqrt{45}}{2\sqrt{5}} = \left(\frac{8}{2}\right) \times \sqrt{\frac{45}{5}} = 4 \times \sqrt{9} = 4 \times 3 = \mathbf{12}$$
Sederhanakan bentuk perkalian kurung: $\sqrt{3}(\sqrt{6} + 2\sqrt{3})$!
1. Gunakan hukum distributif aljabar:
$$\sqrt{3} \times \sqrt{6} + \sqrt{3} \times 2\sqrt{3}$$ 2. Operasikan masing-masing suku:
$$\sqrt{18} + 2(\sqrt{3} \times \sqrt{3}) = \sqrt{9 \times 2} + 2(3)$$ $$= \mathbf{3\sqrt{2} + 6} \quad \text{atau} \quad \mathbf{6 + 3\sqrt{2}}$$
Rasionalkan penyebut dari pecahan bersusun berikut: $\frac{6}{\sqrt{3}}$!
1. Kalikan pembilang dan penyebut dengan akar yang sama ($\sqrt{3}$):
$$\frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$ 2. Selesaikan pembilang dan penyebut:
$$= \frac{6\sqrt{3}}{3} = \mathbf{2\sqrt{3}}$$
Rasionalkan bentuk pecahan: $\frac{8}{3 - \sqrt{5}}$!
1. Sekawan dari $(3 - \sqrt{5})$ adalah $(3 + \sqrt{5})$. Kalikan atas dan bawah:
$$\frac{8}{3 - \sqrt{5}} \times \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$$ 2. Gunakan sifat selisih kuadrat $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ pada penyebut:
$$\text{Penyebut} = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$$ 3. Sederhanakan pecahan:
$$= \frac{8(3 + \sqrt{5})}{4} = 2(3 + \sqrt{5}) = \mathbf{6 + 2\sqrt{5}}$$
Rasionalkan penyebut pecahan: $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$!
1. Kalikan dengan sekawan $(\sqrt{5} - \sqrt{2})$:
$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$$ 2. Hitung pembilang dan penyebut:
$$\text{Pembilang} = \sqrt{5}(\sqrt{5}) - \sqrt{5}(\sqrt{2}) = 5 - \sqrt{10}$$ $$\text{Penyebut} = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$$ 3. Hasil akhir bersusun:
$$= \mathbf{\frac{5 - \sqrt{10}}{3}} \quad \text{atau} \quad \mathbf{\frac{5}{3} - \frac{\sqrt{10}}{3}}$$
Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang kedua sisi siku-sikunya berturut-turut $5\text{ cm}$ dan $5\text{ cm}$. Tentukan panjang sisi miring (hipotenusa) segitiga tersebut!
1. Gunakan teorema Pythagoras: $c^2 = a^2 + b^2$.
2. Hitung panjang hipotenusa:
$$c = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}$$ 3. Sederhanakan bentuk akar:
$$c = \sqrt{25 \times 2} = \mathbf{5\sqrt{2}\text{ cm}}$$
Ubahlah bilangan berpangkat pecahan $8^{\frac{2}{3}}$ dan $x^{\frac{3}{5}}$ ke dalam bentuk akar paling sederhana!
1. Gunakan kaidah hubungan eksponen pecahan dan bentuk akar $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$:
$$8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64}$$ Karena $4 \times 4 \times 4 = 64$, maka $\sqrt[3]{64} = \mathbf{4}$.
2. Untuk variabel $x^{\frac{3}{5}}$:
$$x^{\frac{3}{5}} = \mathbf{\sqrt[5]{x^3}}$$
Kuis: 10 Soal Bentuk Akar & Operasinya
Memuat butir soal kuis...
Kuis Selesai!
Selamat atas penguasaan materi Bentuk Akar!