Kuasai Teori Himpunan & Diagram Venn Secara Interaktif!
Pahami kumpulan objek yang terdefinisi dengan jelas, notasi matematika, hubungan himpunan bagian, serta visualisasi operasi Irisan ($\cap$), Gabungan ($\cup$), Selisih ($-$), dan Komplemen ($A^c$) pada Diagram Venn.
Laboratorium Diagram Venn Interaktif
Pilih operasi himpunan untuk menyorot (*highlight*) daerah arsiran pada Diagram Venn secara langsung.
Preset Anggota Himpunan Interaktif
Hasil Evaluasi Operasi Terpilih
Himpunan, Bukan Himpunan, dan Himpunan Bagian
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang didefinisikan dengan jelas batasan-batasannya sehingga tidak menimbulkan penafsiran relatif.
Himpunan vs Bukan Himpunan
Keanggotaan harus terdefinisi secara objektif (pasti):
Kardinalitas & Himpunan Bagian
Banyak anggota dinyatakan dengan $n(A)$, dan banyaknya seluruh himpunan bagian dari $A$ dirumuskan:
Empat Operasi Pokok Himpunan
Operasi dasar untuk mengombinasikan atau membandingkan elemen-elemen dari dua himpunan.
Irisan ($A \cap B$)
Elemen yang menjadi anggota $A$ sekaligus anggota $B$:
Gabungan ($A \cup B$)
Elemen yang menjadi anggota $A$ atau anggota $B$:
Selisih ($A - B$)
Anggota $A$ yang bukan merupakan anggota $B$:
Komplemen ($A^c$)
Anggota semesta $S$ yang bukan anggota $A$:
Kalkulator Operasi Himpunan & Diagram Venn
Ketikkan anggota himpunan dipisahkan tanda koma untuk menghitung irisan, gabungan, selisih, dan komplemen.
Input Elemen Anggota Himpunan
Pembahasan Lengkap: Teori Himpunan & Diagram Venn
Langkah penyelesaian disajikan dengan baris tanda sama dengan lurus ke bawah.
Nyatakan himpunan $A = \{x \mid 2 < x \le 10, x \in \text{bilangan genap}\}$ dengan cara mendaftar seluruh anggotanya!
Syarat bilangan genap lebih dari $2$ dan kurang dari atau sama dengan $10$: $$\begin{aligned} A &= \{4, 6, 8, 10\} \\ n(A) &= \mathbf{4} \end{aligned}$$
Diketahui himpunan huruf pembentuk kata "MATEMATIKA". Tentukan banyaknya seluruh himpunan bagian dari himpunan tersebut!
Daftar huruf unik tanpa pengulangan: $$\begin{aligned} P &= \{\text{M, A, T, E, I, K}\} \\ n(P) &= 6 \end{aligned}$$ Banyak himpunan bagian: $$\begin{aligned} \text{Banyak subset} &= 2^{n(P)} \\ &= 2^6 \\ &= \mathbf{64} \end{aligned}$$
Diketahui $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ dan $B = \{2, 3, 5, 7, 11\}$. Tentukan anggota dari $A \cap B$!
Cari anggota persekutuan yang ada di $A$ dan juga ada di $B$: $$\begin{aligned} A \cap B &= \{3, 5, 7\} \\ n(A \cap B) &= \mathbf{3} \end{aligned}$$
Jika $P = \{a, b, c, d\}$ dan $Q = \{c, d, e, f\}$, tentukan $P \cup Q$!
Satukan seluruh anggota dari kedua himpunan (anggota sama ditulis satu kali): $$\begin{aligned} P \cup Q &= \{a, b, c, d, e, f\} \\ n(P \cup Q) &= \mathbf{6} \end{aligned}$$
Diketahui $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$, $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, dan $B = \{3, 5, 7\}$. Tentukan $A - B$ dan $B - A$!
1. $A - B$ (anggota $A$ yang bukan anggota $B$): $$\begin{aligned} A - B &= \mathbf{\{1, 2, 4\}} \end{aligned}$$ 2. $B - A$ (anggota $B$ yang bukan anggota $A$): $$\begin{aligned} B - A &= \mathbf{\{7\}} \end{aligned}$$
Diketahui semesta $S = \{x \mid x \le 10, x \in \text{bilangan cacah}\}$ dan $A = \{2, 3, 5, 7\}$. Tentukan anggota dari $A^c$!
Tuliskan anggota $S$ dan cari anggota yang tidak ada di $A$: $$\begin{aligned} S &= \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \\ A^c &= S - A \\ &= \mathbf{\{0, 1, 4, 6, 8, 9, 10\}} \end{aligned}$$
Jika $n(A) = 18$, $n(B) = 15$, dan $n(A \cap B) = 7$, hitunglah banyak anggota gabungan $n(A \cup B)$!
Gunakan prinsip inklusi-eksklusi: $$\begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A \cap B) \\ &= 18 + 15 - 7 \\ &= 33 - 7 \\ &= \mathbf{26} \end{aligned}$$
Dari $40$ siswa suatu kelas, $25$ siswa gemar basket, $20$ siswa gemar voli, dan $12$ siswa gemar kedua-duanya. Berapa banyak siswa yang tidak gemar basket maupun voli?
Hitung jumlah siswa yang gemar sedikitnya satu cabang: $$\begin{aligned} n(B \cup V) &= n(B) + n(V) - n(B \cap V) \\ &= 25 + 20 - 12 \\ &= 33\text{ siswa} \end{aligned}$$ Siswa yang tidak gemar keduanya: $$\begin{aligned} \text{Tidak gemar keduanya} &= n(S) - n(B \cup V) \\ &= 40 - 33 \\ &= \mathbf{7\text{ siswa}} \end{aligned}$$
Suatu kelompok warga terdiri atas $50$ orang. Terdapat $32$ orang berlangganan koran, $28$ orang berlangganan majalah, dan $5$ orang tidak berlangganan keduanya. Berapa orang yang berlangganan koran sekaligus majalah?
Banyak warga yang berlangganan koran atau majalah: $$\begin{aligned} n(K \cup M) &= n(S) - \text{tidak keduanya} \\ &= 50 - 5 = 45 \end{aligned}$$ Gunakan rumus gabungan untuk mencari irisan: $$\begin{aligned} n(K \cup M) &= n(K) + n(M) - n(K \cap M) \\ 45 &= 32 + 28 - n(K \cap M) \\ 45 &= 60 - n(K \cap M) \\ n(K \cap M) &= 60 - 45 \\ n(K \cap M) &= \mathbf{15\text{ orang}} \end{aligned}$$
Buktikan dengan mendaftar anggotanya bahwa $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ untuk $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $A = \{1, 2, 3\}$, dan $B = \{3, 4\}$!
1. Ruas Kiri: $$\begin{aligned} A \cap B &= \{3\} \\ (A \cap B)^c &= \mathbf{\{1, 2, 4, 5\}} \end{aligned}$$ 2. Ruas Kanan: $$\begin{aligned} A^c &= \{4, 5\}, \quad B^c = \{1, 2, 5\} \\ A^c \cup B^c &= \mathbf{\{1, 2, 4, 5\}} \end{aligned}$$ Kedua ruas bernilai sama persis, sehingga hukum De Morgan terbukti sah.
Tentukan banyaknya himpunan bagian dari $K = \{p, q, r, s\}$ yang memiliki tepat $3$ anggota!
Gunakan kombinasi atau segitiga Pascal baris ke-$4$ ($1, 4, 6, 4, 1$): $$\begin{aligned} \text{Daftar subset 3 anggota} &= \{p, q, r\}, \{p, q, s\}, \{p, r, s\}, \{q, r, s\} \\ \text{Banyaknya} &= \mathbf{4} \end{aligned}$$
Jika $A = \{1, 3, 5\}$ dan $B = \{2, 4, 6\}$, tentukan $A \cap B$ dan jelaskan hubungan kedua himpunan!
Karena tidak ada satu pun elemen yang sama: $$\begin{aligned} A \cap B &= \mathbf{\emptyset} \quad (\text{atau } \{\}) \end{aligned}$$ Himpunan $A$ dan $B$ disebut **himpunan saling lepas (disjoint)**, sehingga pada diagram Venn kedua lingkaran digambar terpisah.
Tentukan beda setangkup $A \oplus B = (A - B) \cup (B - A)$ untuk $A = \{2, 4, 6, 8\}$ dan $B = \{6, 8, 10, 12\}$!
Hitung masing-masing selisih: $$\begin{aligned} A - B &= \{2, 4\} \\ B - A &= \{10, 12\} \\ A \oplus B &= \{2, 4\} \cup \{10, 12\} \\ &= \mathbf{\{2, 4, 10, 12\}} \end{aligned}$$
Dalam kelompok $35$ anak, $20$ anak suka makan bakso, $18$ anak suka makan soto, dan $8$ anak suka kedua-duanya. Berapa anak yang **hanya** suka makan bakso saja?
Kurangkan penyuka bakso dengan penyuka keduanya: $$\begin{aligned} \text{Hanya Bakso} &= n(\text{Bakso}) - n(\text{Keduanya}) \\ &= 20 - 8 \\ &= \mathbf{12\text{ anak}} \end{aligned}$$
Diketahui $S = \{1, 2, 3, \dots, 9\}$, $A = \{1, 2, 3\}$, dan $B = \{3, 4, 5\}$. Tentukan $(A \cup B)^c$!
Tentukan gabungannya terlebih dahulu: $$\begin{aligned} A \cup B &= \{1, 2, 3, 4, 5\} \\ (A \cup B)^c &= S - (A \cup B) \\ &= \mathbf{\{6, 7, 8, 9\}} \end{aligned}$$
Diketahui $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{2, 4, 6\}$, dan $C = \{2, 3, 5\}$. Tentukan anggota dari $(A \cap B) \cap C$!
Cari irisan bertahap: $$\begin{aligned} A \cap B &= \{2, 4\} \\ (A \cap B) \cap C &= \{2, 4\} \cap \{2, 3, 5\} \\ &= \mathbf{\{2\}} \end{aligned}$$
Tuliskan seluruh anggota himpunan kuasa $\mathcal{P}(A)$ jika $A = \{1, 2\}$!
Himpunan kuasa memuat seluruh himpunan bagian dari $A$ ($2^2 = 4$ subset): $$\begin{aligned} \mathcal{P}(A) &= \mathbf{\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}} \end{aligned}$$
Sebanyak $45$ siswa didata tentang hobi membaca dan menulis. Jumlah siswa yang suka membaca adalah dua kali lipat siswa yang suka menulis. Jika $5$ siswa suka keduanya dan $8$ siswa tidak suka keduanya, berapa siswa yang suka membaca?
Misalkan penyuka menulis $= x$, maka penyuka membaca $= 2x$: $$\begin{aligned} n(M \cup T) &= 45 - 8 = 37 \\ n(M \cup T) &= n(M) + n(T) - n(M \cap T) \\ 37 &= 2x + x - 5 \\ 37 + 5 &= 3x \\ 42 &= 3x \\ x &= 14 \end{aligned}$$ Banyak siswa yang suka membaca $= 2x = 2(14) = \mathbf{28\text{ siswa}}$.
Tentukan hasil dari $A \cap (B \cup C)$ jika $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{3, 4\}$, dan $C = \{5\}$!
Kerjakan operasi di dalam kurung terlebih dahulu: $$\begin{aligned} B \cup C &= \{3, 4, 5\} \\ A \cap (B \cup C) &= \{1, 2, 3\} \cap \{3, 4, 5\} \\ &= \mathbf{\{3\}} \end{aligned}$$
Berapakah banyak himpunan bagian sejati (*proper subset*) dari himpunan $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$?
Himpunan bagian sejati adalah semua himpunan bagian kecuali himpunan $A$ itu sendiri: $$\begin{aligned} n(A) &= 5 \\ \text{Total subset} &= 2^5 = 32 \\ \text{Proper subset} &= 2^{n(A)} - 1 \\ &= 32 - 1 \\ &= \mathbf{31} \end{aligned}$$
Kuis Uji Pemahaman Teori Himpunan
Memuat butir soal kuis...
Kuis Selesai!
Selamat atas pencapaian belajarmu!