Kuasai Konsep Relasi & Diagram Panah Secara Interaktif!
Pahami aturan pemasangan antara dua himpunan, tentukan Daerah Asal (Domain), Daerah Kawan (Kodomain), dan Daerah Hasil (Range), serta visualisasikan relasi seperti "Kurang Dari", "Faktor Dari", "Setengah Dari", dan "Kuadrat Dari" secara langsung.
Laboratorium Diagram Panah Interaktif
Pilih aturan relasi untuk menyorot (*highlight*) lintasan panah dan pasangan berurutan secara langsung.
Preset Anggota Himpunan Interaktif
Hasil Evaluasi Relasi Terpilih
Pengertian Relasi, Domain, Kodomain, dan Range
Relasi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah suatu aturan yang menghubungkan atau memasangkan anggota-anggota himpunan $A$ dengan anggota-anggota himpunan $B$.
Unsur-Unsur Utama Relasi
Setiap relasi dari himpunan $A$ ke $B$ memiliki tiga komponen penting:
Tiga Cara Menyatakan Relasi
Hubungan antar himpunan dapat disajikan secara grafis maupun aljabar:
Empat Aturan Pokok Relasi Numerik
Aturan matematika yang sering digunakan untuk memetakan hubungan antara dua kelompok bilangan.
Faktor Dari
Elemen $x$ habis membagi elemen $y$ tanpa sisa:
Kurang Dari ($<$)
Nilai elemen $x$ lebih kecil secara murni daripada elemen $y$:
Kelipatan Dari
Elemen $x$ merupakan hasil kali bilangan bulat positif dengan $y$:
Setengah Dari
Nilai elemen $x$ sama dengan separuh dari nilai elemen $y$:
Kalkulator Pasangan Relasi & Penentu Range
Ketikkan anggota himpunan $A$ dan $B$ serta pilih aturan relasi untuk menghitung pasangan berurutan dan range secara otomatis.
Input Elemen Anggota Himpunan
Pembahasan Lengkap: Konsep Relasi & Diagram Panah
Langkah penyelesaian disajikan dengan baris tanda sama dengan lurus ke bawah.
Diketahui himpunan $A = \{2, 3, 5\}$ dan $B = \{4, 6, 9, 15\}$. Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi "faktor dari" dari $A$ ke $B$!
Uji setiap elemen $x \in A$ apakah membagi habis $y \in B$: $$\begin{aligned} 2 &\mid 4 \text{ dan } 2 \mid 6 \implies (2, 4), (2, 6) \\ 3 &\mid 6, 3 \mid 9, \text{ dan } 3 \mid 15 \implies (3, 6), (3, 9), (3, 15) \\ 5 &\mid 15 \implies (5, 15) \\ R &= \mathbf{\{(2, 4), (2, 6), (3, 6), (3, 9), (3, 15), (5, 15)\}} \end{aligned}$$
Diberikan relasi $R = \{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)\}$ dari himpunan $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ke himpunan $B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$. Tentukan Domain, Kodomain, dan Range dari relasi tersebut!
Identifikasi komponen-komponen himpunan: $$\begin{aligned} \text{Domain} &= A = \mathbf{\{1, 2, 3, 4, 5\}} \\ \text{Kodomain} &= B = \mathbf{\{2, 4, 6, 8, 10\}} \\ \text{Range} &= \{y \mid (x, y) \in R\} \\ &= \mathbf{\{2, 4, 6, 8\}} \end{aligned}$$
Diketahui $P = \{1, 3, 4\}$ dan $Q = \{2, 3, 5\}$. Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi "kurang dari" dari $P$ ke $Q$!
Pilih pasangan $(x, y)$ sedemikian hingga $x < y$: $$\begin{aligned} x = 1 &\implies 1 < 2, 1 < 3, 1 < 5 \implies (1, 2), (1, 3), (1, 5) \\ x = 3 &\implies 3 < 5 \implies (3, 5) \\ x = 4 &\implies 4 < 5 \implies (4, 5) \\ R &= \mathbf{\{(1, 2), (1, 3), (1, 5), (3, 5), (4, 5)\}} \end{aligned}$$
Jika $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ dan $B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$, tentukan range dari relasi "setengah dari" yang menghubungkan himpunan $A$ ke $B$!
Relasi menyatakan $x = \frac{1}{2}y \iff y = 2x$: $$\begin{aligned} x = 1 &\implies y = 2(1) = 2 \in B \\ x = 2 &\implies y = 2(2) = 4 \in B \\ x = 3 &\implies y = 2(3) = 6 \in B \\ x = 4 &\implies y = 2(4) = 8 \in B \\ x = 5 &\implies y = 2(5) = 10 \in B \\ \text{Range} &= \mathbf{\{2, 4, 6, 8, 10\}} \end{aligned}$$
Diketahui $K = \{1, 4, 9, 16, 25\}$ dan $L = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Nyatakan relasi "kuadrat dari" dari himpunan $K$ ke $L$ dalam bentuk himpunan pasangan berurutan!
Syarat relasi $x = y^2$ dengan $x \in K$ dan $y \in L$: $$\begin{aligned} 1 &= 1^2 \implies (1, 1) \\ 4 &= 2^2 \implies (4, 2) \\ 9 &= 3^2 \implies (9, 3) \\ 16 &= 4^2 \implies (16, 4) \\ 25 &= 5^2 \implies (25, 5) \\ R &= \mathbf{\{(1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5)\}} \end{aligned}$$
Diberikan pasangan berurutan $\{(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5)\}$. Tentukan aturan relasi yang paling tepat dari himpunan pertama ke himpunan kedua!
Periksa pola perbandingan nilai $x$ terhadap $y$: $$\begin{aligned} 2 &= 2 \times 1 \\ 4 &= 2 \times 2 \\ 6 &= 2 \times 3 \\ 8 &= 2 \times 4 \\ 10 &= 2 \times 5 \\ \text{Aturan Relasi} &= \mathbf{\text{"Dua kali dari"}} \end{aligned}$$
Diketahui himpunan $A = \{5, 6, 7, 8\}$ dan $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi "tiga lebihnya dari" dari $A$ ke $B$!
Syarat persamaan relasi $x = y + 3 \iff y = x - 3$: $$\begin{aligned} x = 5 &\implies y = 5 - 3 = 2 \implies (5, 2) \\ x = 6 &\implies y = 6 - 3 = 3 \implies (6, 3) \\ x = 7 &\implies y = 7 - 3 = 4 \implies (7, 4) \\ x = 8 &\implies y = 8 - 3 = 5 \implies (8, 5) \\ R &= \mathbf{\{(5, 2), (6, 3), (7, 4), (8, 5)\}} \end{aligned}$$
Empat siswa bernama Ali, Budi, Cici, dan Dedi memilih mata pelajaran kegemaran. Ali gemar Matematika dan IPA; Budi gemar IPA; Cici gemar IPS dan Kesenian; Dedi gemar Olahraga. Nyatakan relasi "gemar pelajaran" dalam himpunan pasangan berurutan!
Petakan setiap siswa ke mata pelajaran pilihannya: $$\begin{aligned} R &= \{(\text{Ali}, \text{Matematika}), (\text{Ali}, \text{IPA}), (\text{Budi}, \text{IPA}), \\ &\quad (\text{Cici}, \text{IPS}), (\text{Cici}, \text{Kesenian}), (\text{Dedi}, \text{Olahraga})\} \\ n(R) &= \mathbf{6\text{ pasangan}} \end{aligned}$$
Diketahui himpunan $A = \{a, b\}$ dan himpunan $B = \{1, 2, 3\}$. Berapakah banyaknya seluruh relasi yang mungkin dapat dibentuk dari himpunan $A$ ke himpunan $B$?
Relasi dari $A$ ke $B$ adalah sembarang himpunan bagian dari produk Cartesius $A \times B$: $$\begin{aligned} n(A) &= 2 \\ n(B) &= 3 \\ n(A \times B) &= n(A) \times n(B) = 2 \times 3 = 6 \\ \text{Banyak Relasi} &= 2^{n(A \times B)} \\ &= 2^6 \\ &= \mathbf{64} \end{aligned}$$
Jika relasi $R = \{(1, 3), (2, 6), (3, 9)\}$ memiliki aturan "sepertiga dari", tentukan relasi inversnya $R^{-1}$ beserta aturannya dari himpunan kedua ke himpunan pertama!
Tukar urutan absis dan ordinat pada tiap pasangan: $$\begin{aligned} R^{-1} &= \{(y, x) \mid (x, y) \in R\} \\ &= \mathbf{\{(3, 1), (6, 2), (9, 3)\}} \\ \text{Aturan } R^{-1} &= \mathbf{\text{"Tiga kali dari"}} \end{aligned}$$
Diberikan $A = \{6, 8, 9\}$ dan $B = \{2, 3\}$. Tentukan anggota himpunan pasangan berurutan dengan aturan "kelipatan dari" dari $A$ ke $B$!
Uji apakah bilangan di $A$ dapat habis dibagi oleh bilangan di $B$: $$\begin{aligned} 6 &\text{ kelipatan dari } 2 \text{ dan } 3 \implies (6, 2), (6, 3) \\ 8 &\text{ kelipatan dari } 2 \implies (8, 2) \\ 9 &\text{ kelipatan dari } 3 \implies (9, 3) \\ R &= \mathbf{\{(6, 2), (6, 3), (8, 2), (9, 3)\}} \end{aligned}$$
Diketahui himpunan $P = \{2, 4, 6\}$ dan $Q = \{1, 3, 5\}$. Jika didefinisikan relasi "sama dengan" dari $P$ ke $Q$, sebutkan anggotanya dan jelaskan sifatnya!
Karena tidak ada satu pun elemen di $P$ yang nilainya sama dengan elemen di $Q$: $$\begin{aligned} R &= \mathbf{\emptyset} \quad (\text{atau } \{\}) \\ n(R) &= 0 \end{aligned}$$ Relasi ini disebut **relasi kosong**, karena tidak ada satu pun pasangan yang memenuhi kriteria yang diminta.
Jika $A = \{2, 5, 7\}$ dan $B = \{3, 4\}$, tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi "lebih dari" dari $A$ ke $B$!
Pilih pasangan dengan ketentuan $x > y$: $$\begin{aligned} x = 2 &\implies \text{tidak ada yang memenuhi} \\ x = 5 &\implies 5 > 3 \text{ dan } 5 > 4 \implies (5, 3), (5, 4) \\ x = 7 &\implies 7 > 3 \text{ dan } 7 > 4 \implies (7, 3), (7, 4) \\ R &= \mathbf{\{(5, 3), (5, 4), (7, 3), (7, 4)\}} \end{aligned}$$
Diketahui $M = \{1, 2, 3, 4\}$ dan $N = \{3, 4, 5, 6, 7\}$. Relasi yang menghubungkan $M$ ke $N$ adalah "dua kurangnya dari". Tentukan Range-nya!
Syarat persamaan relasi $x = y - 2 \iff y = x + 2$: $$\begin{aligned} x = 1 &\implies y = 1 + 2 = 3 \in N \implies (1, 3) \\ x = 2 &\implies y = 2 + 2 = 4 \in N \implies (2, 4) \\ x = 3 &\implies y = 3 + 2 = 5 \in N \implies (3, 5) \\ x = 4 &\implies y = 4 + 2 = 6 \in N \implies (4, 6) \\ \text{Range} &= \mathbf{\{3, 4, 5, 6\}} \end{aligned}$$
Apakah relasi $R = \{(1, a), (2, b), (2, c), (3, d)\}$ dari himpunan $A = \{1, 2, 3\}$ ke $B = \{a, b, c, d\}$ termasuk fungsi? Berikan alasannya!
Syarat fungsi adalah setiap anggota domain harus dipasangkan tepat satu kali: $$\begin{aligned} \text{Elemen } 2 \in A &\implies \text{memiliki 2 kawan di } B \text{ yaitu } (2, b) \text{ dan } (2, c) \\ \text{Kesimpulan} &= \mathbf{\text{Bukan Fungsi (Hanya Relasi Biasa)}} \end{aligned}$$
Relasi dari $A = \{2, 3, 5\}$ ke $B$ memiliki aturan $y = 3x - 1$. Jika pasangan $(3, p)$ dan $(q, 14)$ termasuk dalam relasi tersebut, hitunglah nilai dari $p + q$!
Substitusikan nilai ke persamaan relasi: $$\begin{aligned} p &= 3(3) - 1 = 9 - 1 = 8 \\ 14 &= 3q - 1 \implies 3q = 15 \implies q = 5 \\ p + q &= 8 + 5 = \mathbf{13} \end{aligned}$$
Diberikan himpunan $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Relasi $R$ pada himpunan $A$ didefinisikan sebagai "kelipatan dari". Tentukan banyaknya anggota relasi $n(R)$!
Daftar seluruh pasangan $(x, y)$ di mana $x$ habis dibagi $y$: $$\begin{aligned} y = 1 &\implies (1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1) \quad [6\text{ buah}] \\ y = 2 &\implies (2,2), (4,2), (6,2) \quad [3\text{ buah}] \\ y = 3 &\implies (3,3), (6,3) \quad [2\text{ buah}] \\ y = 4 &\implies (4,4) \quad [1\text{ buah}] \\ y = 5 &\implies (5,5) \quad [1\text{ buah}] \\ y = 6 &\implies (6,6) \quad [1\text{ buah}] \\ n(R) &= 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = \mathbf{14} \end{aligned}$$
Diketahui $A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ dan $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Jika relasi dari $A$ ke $B$ adalah "$x + y = 7$", tentukan anggota himpunan pasangan berurutannya!
Cari pasangan dengan jumlah sama dengan $7$: $$\begin{aligned} 2 + 5 &= 7 \implies (2, 5) \\ 3 + 4 &= 7 \implies (3, 4) \\ 4 + 3 &= 7 \implies (4, 3) \\ 5 + 2 &= 7 \implies (5, 2) \\ 6 + 1 &= 7 \implies (6, 1) \\ R &= \mathbf{\{(2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}} \end{aligned}$$
Himpunan $A = \{1, 2, 3\}$ dan $B = \{1, 8, 27, 64\}$. Tentukan range dari relasi "akar pangkat tiga dari" yang menghubungkan himpunan $A$ ke $B$!
Syarat relasi $x = \sqrt[3]{y} \iff y = x^3$: $$\begin{aligned} 1 = \sqrt[3]{1} &\implies y = 1^3 = 1 \implies (1, 1) \\ 2 = \sqrt[3]{8} &\implies y = 2^3 = 8 \implies (2, 8) \\ 3 = \sqrt[3]{27} &\implies y = 3^3 = 27 \implies (3, 27) \\ \text{Range} &= \mathbf{\{1, 8, 27\}} \end{aligned}$$
Pada diagram Cartesius relasi $R$ dari $A$ ke $B$, titik-titik koordinat yang bernilai hitam adalah $(2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)$. Tentukan rumus aljabar yang menyatakan hubungan $y$ terhadap $x$!
Bandingkan rasio ordinat terhadap absis untuk setiap titik: $$\begin{aligned} \frac{y}{x} &= \frac{4}{2} = \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2 \\ y &= \mathbf{2x} \end{aligned}$$
Kuis Uji Pemahaman Konsep Relasi
Memuat butir soal kuis...
Kuis Selesai!
Selamat atas pencapaian belajarmu!